OpenAI 解決了 Navier–Stokes 千禧年大獎難題

AI 證明了 Navier–Stokes 奇異點

OpenAI 產出了一份解析證明與 Lean 形式化驗證，證明了用於流體運動的 Navier–Stokes 方程式的動力學可以在有限時間內產生奇異點。這項結果解決了 Navier–Stokes 存在性與光滑性問題，這是 Clay Mathematics Institute 在 2000 年設立的七個千禧年大獎難題之一。

該證明確立了在受到光滑外部作用力的初始光滑靜止流體，可以在有限時間內產生奇異點，使得流體速度在總能量保持有限的情況下無限增長。這證實了這些方程式中使用的連續體近似法可能會失效，標誌著這些方程式模擬流體行為的極限。

數學機制

該解法描述了一個渦流——一個旋轉的流體漩渦——向內螺旋並變得越來越細長。在這種情況下，渦流的中心區域縮小，而其速度增加。為了保持有限的能量與光滑的外部作用力，描述加速度、壓力梯度、動量轉移與黏滯力的項必須顯著增長，但必須以精確的平衡來相互抵消。這使得速度可以在不需要無限外部作用力的情況下無限增長。

方法論：大規模多代理人協作

OpenAI 使用一個由內部模型驅動的協作代理人系統來解決此問題，該模型的能力顯著高於 GPT-6 Astra。該過程涉及大規模的運算與代理人互動：

• Agent 體系架構： 代理人被組織成具有內部通訊能力的群組。成功解決 Navier–Stokes 問題的群組由大約 10,000 個並行代理人組成。
• 迭代方法： 系統首先嘗試對所有未解決的千禧年大獎難題採取「散彈槍」式的方法。在成功解決了無外力 Euler 方程式的規整性問題（Navier–Stokes 問題的簡化版本）後，OpenAI 將資源轉向專注於 Navier–Stokes。
• 交叉授粉： 團隊使用 Codex 來整合來自不同代理人群組的見解，利用中間結果來引導後續的提示詞。
• 資源消耗： 在所有嘗試解決的問題中，代理人發送了 490 萬條訊息，並使用了大約 3,000 億個輸出 Token。針對 Navier–Stokes 問題，代理人使用了 1,300 億個輸出 Token 並發送了 270 萬條訊息。

發現的時間線

• 8 月 28 日： 開始對新的內部模型進行訓練。
• 9 月 1 日： 在聽到關於千禧年大獎難題取得並行進展的傳聞後，OpenAI 啟動了多代理人計畫。
• 9 月 5 日： 代理人在啟動後約 88 小時內達成了 Navier–Stokes 的解決方案。
• 9 月 6 日： 透過 GPT-6 Astra 完成了 Lean 形式化與驗證，額外耗時 17 小時。

爭議與並行研究

OpenAI 承認 Levent Alpöge (Anthropic) 與 Tristan Buckmaster (NYU) 也有在進行相關研究，後者解決了受力 Euler 問題。雖然 OpenAI 表示他們的證明與此有顯著差異且結果不同（無外力 Euler 與受力 Euler），但該公司承認無法排除研究人員使用 OpenAI 產品時產生的去識別化數據可能幫助了模型改進，進而協助了證明。

社群反應與倫理疑慮

這項公告在數學與 AI 社群中引發了關於 AI 驅動發現的倫理問題的激烈辯論：

"我們現在看到，即使是有人正在研究某個問題的傳聞，也可能觸發大規模的 AI 驅動的投入，在原始研究計畫有時間發揮其全部潛力之前就將其平整化。現在的誘因可能正指向一個方向，即不再與廣大社群分享任何有前景的研究方向..." — Terence Tao

Hacker News 與其他平台的評論者提出了疑慮，擔心 AI 實驗室可能會利用其對使用者提示詞的存取權來「搶先發表」人類研究人員。一些使用者指出資源的極端不對稱，估計如果透過公開 API 進行此項工作，使用 Token 的成本將超過 1,500 萬美元，這凸顯了頂尖實驗室與獨立科學家之間的差距。