OpenAI Astra：數學與理論計算機科學的十項進展

OpenAI 已宣布，其下一代主要模型 Astra 的內部版本已解決了十個至少持續十年的數學與理論計算機科學未解問題。這些成果涵蓋高維幾何、編碼理論與量子複雜度等多個領域，並附有形式化的 Lean 證書以確保正確性。

數學與理論計算機科學的突破

Astra 模型的內部版本為十個不同的問題生成了數學論證。為確保結果可驗證，OpenAI 研究人員與模型合作，準備手稿並將每個論證形式化為 Lean 證書。

解決的十個問題包括：

• 高維球體堆積： 模型確立了球體堆積密度的新上界，達到 Cohn–Elkies 閾值。
• 二元與球面碼： 模型在任意給定的最小距離下，對二元碼的最大大小給出了指數級改進的界限，對高維球面碼也得到類似結果。
• 非 sofik 群體： 模型提供了一個構造，證明了非 sofik 群體的存在，解決了群論中的一個核心未解問題。
• Connes 的剛性猜想： 模型推翻了一個長期存在的猜想，即某些群是否能由其 von Neumann 代數唯一決定。
• 算術電路複雜度： 模型為使用算術電路和公式計算永久函數建立了新的下界，包括階為 $n^{4/\log n}$ 的算術公式下界。
• 量子平行重複： 模型為一般的雙玩家量子遊戲開發了指數級的平行重複定理，擴展了古典複雜度理論的原則。
• 最近向量問題： 模型確定了最近向量問題的多項式因子近似難度，這是後量子密碼學的基礎問題之一。
• Ehrhart 體積猜想： 模型確定了在每個維度中，質心是唯一內部格點的凸體的最大可能體積。
• 多色 Ramsey 數： 模型通過提供多色三角 Ramsey 數的超指數下界，解決了 Erdős 問題 183。
• 極值數猜想： 模型解決了 Erdős 問題 146 與 180，涉及極端圖論中的緊緻性與退化性猜想。

技術實作與成本

這些解決方案由 Astra 的內部版本生成。OpenAI 報告稱，找到這些解決方案所需的總 token 數量約為 $2,000（以 Sol API 價率計算）。工作流程包括模型生成論證，人類與模型合作準備手稿，然後模型將證明形式化為 Lean。

AI 歸屬與研究責任

OpenAI 強調，數學論證是由系統生成的，雖然人類協助了手稿的準備與 Lean 的形式化，但系統是此發現的主要作者。公司表示，聲稱 AI 生成的證明是人類作者會誤導知識產出的本質。

此公告緊接著 5 月份 AI 生成的 Erdős 單位距離猜想的反證，OpenAI 指出此已激發該領域後續研究，包括對和乘積猜想以及點線相交的通信複雜度的研究。