OpenAI Formal Math Olympiad Problem Solving

OpenAI 已證明其模型可以解決高中數學奧林匹亞競賽問題的正式版本。透過在正式系統中生成證明，模型可以為來自美國數學競賽 (AMC12)、美國數學邀請賽 (AIME) 以及國際數學奧林匹亞 (IMO) 等競賽的複雜問題提供可驗證的解答。

Formal Proof Generation and Tactics

OpenAI 的方法利用了正式系統，在其中證明是使用「tactics」構建的。「tactics」是高階搜尋程序，用於生成低階產物——相當於組合語言——這些產物是正式系統驗證證明所需的。這使得模型能夠從高階數學陳述轉向可驗證的正式證明。

Solved Problem Examples

模型成功解決了不同數學領域的多種問題，展示了特定的推理能力：

Algebra and Arithmetic

• AMC12 (2000 Problem 5): 模型透過發明必要的術語 abs (x - 2) = -(x - 2) 來推進證明，證明了一個關於絕對值的陳述 ($╴ x - 2 ╵ = p$)。
• AMC12B (2020 Problem 6): 模型透過直接提出 n + 1 作為解的見證 (solution witness)，解決了一個涉及階乘和完全平方數的問題。
• MATH Dataset: 模型使用逆否命題並透過提出 0 作為目標的見證 (witness)，證明了一個關於線性函數 $f(x) = Ax + B$ 和 $g(x) = Bx + A$ 的陳述。
• AIME (1984 Problem 1): 模型處理了一個涉及等差數列和 98 項範圍內加總的問題。

Geometry and Inequalities

• IMO (1964 Problem 2): 模型透過為 nlinarith tactic 發明論點，特別是使用平方的非負性 (sq_nonneg)，證明了一個涉及邊長 $a, b, c$ 的三角形不等式。
• IMO Longlist (1990 Problem 77): 模型透過運用 Cauchy-Schwarz 不等式並引入必要的「切割」(cuts)（發明如 $0 ≤ (c + a) * (c + a)$ 之類的術語）來滿足正式證明器，解決了一個複雜的不等式問題。

Technical Implications

解決這些問題的能力突顯了模型在正式證明語境下的「發明」能力。在幾種情況下，模型不僅僅是套用現有規則，而是提出了特定的見證 (witnesses)（例如 $n+1$ 或 $0$）或發明了中間引理和術語（例如特定的平方差），這些對於完成證明都是至關重要的。這顯示了在導航正式驗證系統的約束條件時，所需的策略規劃與數學推理能力。