Google DeepMind、AIを用いて新たな流体力学の特異点を発見

Google DeepMindは、物理情報付きニューラルネットワーク（PINN）を活用した新しいAI手法を開発し、流体力学方程式における不安定な特異点の新しい系統を発見しました。これにより、長年未解決の数学的課題の解決への道が開かれます。

Google DeepMind、AIを用いて新たな流体力学の特異点を発見

流体方程式における不安定特異点の発見

DeepMindの手法により、3つの異なる流体方程式にわたって不安定特異点の新しい系統を体系的に初めて発見することが可能になりました。研究者らは、ブローアップの速度（パラメータ λ、Δ で表される）と不安定性の次数（解がブローアップから逸脱できる方法の数）との間に一貫したパターンがあることを観測しました。このパターンは特に非圧縮多孔質媒体（IPM）方程式とブーシネスク方程式で顕著に見られ、同じ軌道上にさらに不安定な解が存在することが示唆されています。

技術的実装：高精度PINN

この発見は、物理情報付きニューラルネットワーク（PINN）を汎用の偏微分方程式（PDE）ソルバーから、専門的な発見ツールへと変換することで実現しました。技術的フレームワークは、以下の主要な要素に依存しています：

• Physics-Informed Training: 標準的なニューラルネットワークが大量のデータセットに依存するのとは異なり、これらのモデルは方程式で記述された物理法則に合わせて訓練されます。ネットワークは「残差」— 解が物理方程式を満たさない程度 — を最小化します。
• Second-Order Optimizers: チームは訓練に二次オプティマイザを組み込み、モデルが前例のない精度に到達できるようにしました。
• Near-Machine Precision: フレームワークはPINNを機械精度に近いレベルまで押し上げ、地球の直径を数センチメートル以内で予測できる精度に相当すると表現されています。この精度は厳密なコンピュータ支援証明に必要です。

流体力学と数学への影響

ナビエ–ストークス方程式における特異点の発見は、ミレニアム賞問題の6つのうちの1つです。今回の発見は不安定特異点に焦点を当てていますが、境界のない3次元Euler方程式とナビエ–ストークス方程式に安定した特異点は存在しないと数学者が考えているため、重要です。その結果、不安定特異点はこれらの方程式に関する根本的な疑問に答える上で主要な役割を果たすと期待されています。

本研究の第一著者でNYUのポストドクトラル研究員であるYongji Wangは次のように述べています：

数学的洞察を組み込み、極限の精度を実現することで、私たちはPINNを捉えどころのない特異点を見つける発見ツールへと変換しました。

この研究は、深い数学的洞察とAIを組み合わせ、物理学や工学の長年の課題に対するコンピュータ支援証明を促進する新たな数学研究のパラダイムを示しています。