Claude 的數學能力：提升黎曼 Zeta 函數的下界

一個尚未發布的研究版 Claude 已提升了滿足黎曼猜想的黎曼 zeta 函數零點比例的長期下界，將該界限從 41.6% 提高到 67.2%。雖然該模型並未解決黎曼猜想本身，但這一結果展示了 AI 模型擴展現有數學研究影響力以達成全新且經過驗證結果的能力。

黎曼 Zeta 函數與黎曼猜想

黎曼猜想是數學中最具影響力的猜想之一，描述了質數的分佈。它假設決定質數的黎曼 zeta 函數零點全部存在於一條特定的垂直線上。

雖然該猜想仍未解決，但數學家們一直致力於量化位於該線上的零點之最小比例。

先前的研究已將此已知常數比例逐漸提高到 41.6%。

Claude 的技術發現

Claude 的結果將該線上零點的下界比例提升至 67.2%。這是透過結合 Aryan、Baluyot、Goldston、Suriajaya 與 Turnage-Butterbaugh 的研究成果（他們開發了在不假設黎曼猜想成立的情況下進行研究的技術）以及 Bombieri (2000) 的工作而實現的。

技術實作

Claude 的方法涉及以下技術步驟：

函數空間建構：Claude 建構了一個具有由 Weil 誘導的二次型的合適函數空間。
子空間識別：它分別識別了由線上與線外零點產生的正定與負定子空間。
不等式應用：Claude 對二次型的秩，根據一階與二階矩資訊應用了不等式。

突破性的步驟在於決定處理整個空間，同時考慮正定性與負定性，並允許二次型為非對角形式。

方法論與驗證

該過程使用了使用 Claude Code 的一個尚未發布的研究版 Claude。這項發現是在兩次對話中完成的，總共使用了 3100 萬個輸出 token。

過程

初步嘗試：一名非數學專業的員工向 Claude 提示「試著認真挑戰一下」黎曼猜想。Claude 最初產生了 650 個不成功的想法。
多代理人協作：Claude 協調了約 60 個子代理人。這些代理人執行了 2,400 個 shell 命令，並編寫了數百個 Python 腳本，以針對已知的 zeta 零點進行數千次數值檢查，並互相進行同行評審。
人為引導：人類操作員主要提供鼓勵性的訊息，這有助於模型克服對自身能力的初步懷疑。

驗證

為了確保結果的準確性，Claude 執行了自身的內部測試，包括下載 54 篇 arXiv 論文以檢查新穎性，並從頭開始獨立重新證明了該發現。

外部專家 Brian Conrey 與 Dan Goldston 也審查了論文。最後，Claude 與員工 Eric Easley 合作，產出了該結果的 Lean formalization，並通過了標準驗證工具 comparator。

AI 在數學領域的意義

這一結果展示了 AI 模型如何透過綜合現有的數學思想來以新的方式擴展其影響力。雖然該模型並未解決黎曼猜想，但發現新的下界是一個嘗試解決百萬美元問題時產生的非預期副產品。