陶哲轩与ChatGPT：拆解雅可比猜想反例

专家引导的AI提示用于数学发现

陶哲轩与ChatGPT的互动表明，大型语言模型（LLMs）在高层次数学中的实用性在很大程度上取决于用户的专业知识。通过提供特定的、充满术语的提示并引导模型经过一系列符号验证，陶哲轩利用AI将雅可比猜想的一个复杂反例映射到一个更简单的心智模型。

观察者指出，陶哲轩的方法与随意使用不同；他利用AI来"暴力求解"特定的符号计算，同时保持高层次的战略方向。这使得数学家能够专注于推广结果或寻找更简单的子结果，以解释证明的核心机制。

在共享的对话中，ChatGPT被用来验证一个多项式同构及其后续具有常数雅可比行列式的映射。该过程分为三个主要阶段：

ChatGPT验证了映射 $\Phi: \mathbb{A}^{3} \rightarrow X$ 及其逆映射 $\Psi: X \rightarrow \mathbb{A}^{3}$ 是互为逆的多项式同构，其中 $X$ 由以下方程定义：

$$X = \left{ (a, b, c, d, e) \in \mathbb{C}^{5} : a^{2} e - a b d + c b^{2} = 1 , a d + b c = 1 \right}$

通过将 $b, c, d,$ 和 $e$ 用 $a, y, z$ 表示的公式展开，模型确认了 $X$ 的定义方程被恒等满足，从而证明 $X \cong \mathbb{A}^{3}$。

在陶哲轩的指导下，模型将 $\Phi$ 与映射 $F(a,b,c,d,e) = (ac, ad + bc, ae + bd, be)$ 组合，并丢弃常数坐标 ($ad+bc=1$)。这得到一个多项式映射 $G: \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C}^{3}$：

$G_{1} = a - \frac{3}{2} a^{2} y + a^{3} z$
$G_{2} = \frac{1}{2} y - 3 a z + 6 a y^{2} - 6 a^{2} y z + \frac{9}{2} a^{2} y^{3} - 3 a^{3} y^{2} z$
$G_{3} = - 2 z + 4 y^{2} - 6 a y z + 7 a y^{3} - 6 a^{2} y^{2} z + 3 a^{2} y^{4} - 2 a^{3} y^{3} z$

ChatGPT对这些表达式进行符号求导，以确认雅可比矩阵的行列式是常数：$\det DG \equiv -1$。

最后，模型展示了这个构造的映射 $G$ 通过源坐标和输出坐标的线性变换与原始的雅可比猜想反例 $F_{orig}$ 等价。通过设定 $a = z_{1}, y = z_{2}, z = -\frac{1}{2} z_{3}$，模型表明：

$$F_{orig} = B \circ G \circ A$$

其中 $A$ 和 $B$ 是线性映射。这验证了因子分解构造精确地恢复了原始映射。

黑客新闻社区的讨论突显了关于AI与高级数学交叉点的几个关键要点：

一位贡献者指出，雅可比猜想对LLMs而言是一种“认知危害”。因为模型的训练数据包含该猜想未被解决的事实，它可能倾向于怀疑用户声称的证明。然而，当由专家引导执行特定的符号检查时，模型可以验证数学，而不管其内部对问题状态的“知识”。

用户观察到，LLM的功能更像是一个同事而不是一个工具。模型处理PDF摄入、代码编写和长期上下文保留的能力使其能够充当超级天才的 sounding board，减少符号操作的摩擦。

一些人认为AI可以帮助数学家克服该领域的极端专业化。通过充当隔离数学领域之间的桥梁，LLMs可能帮助研究人员连接不同子领域的概念，这些概念已经变得太过密集，以至于任何单个人类都无法掌握。

"现代AI对数学家来说就像天赐良药。它帮助他们打破边界，以凡人无法想象的方式连接概念。"

对话揭示了模型具备以下能力：