Claude 的数学能力：提高黎曼 Zeta 函数的下界

一个尚未发布的 Claude 研究版本提高了一个长期存在的下界，即满足黎曼假设的黎曼 zeta 函数零点的比例，将该下界从 41.6% 提高到了 67.2%。虽然该模型本身并未解决黎曼假设，但这一结果展示了 AI 模型扩展现有数学研究的影响力以实现新的、经过验证的结果的能力。

黎曼 Zeta 函数与黎曼假设

黎曼假设是数学中最重要的猜想之一，描述了素数的分布。它假设决定素数的黎曼 zeta 函数的零点全部存在于一条特定的垂直线上。

虽然该假设仍未解决，但数学家们一直致力于量化位于该线上的零点所占的最小比例。之前的研究已将这一已知的常数比例逐渐提高到了 41.6%。

Claude 的技术发现

Claude 的结果将该线上零点的下界比例提高到了 67.2%。这是通过结合 Aryan、Baluyot、Goldston、Suriajaya 和 Turnage-Butterbaugh 的研究成果——他们开发了在不假设黎曼假设成立的情况下进行工作的技术——与 Bombieri (2000) 的工作实现的。

技术实现

Claude 的方法涉及以下技术步骤：

函数空间构建：Claude 构建了一个具有由 Weil 诱导的二次型的合适函数空间。
子空间识别：它分别识别了由在线上和在线外的零点产生的正定和负定子空间。
不等式应用：Claude 根据一阶和二阶矩信息，对二次型的秩应用了一个不等式。

突破性的步骤是决定处理整个空间，同时考虑正定性和负定性，并允许二次型是非对角线的。

方法论与验证

该过程使用了使用 Claude Code 的一个尚未发布的 Claude 研究版本。这一发现是在两个会话中通过总计 3100 万个输出 token 完成的。

过程

初步尝试：一名非数学专业的员工提示 Claude “认真尝试一下”黎曼假设。Claude 最初生成了 650 个不成功的想法。
多智能体协作：Claude 协调了大约 60 个子智能体。这些智能体运行了 2,400 个 shell 命令并编写了数百个 Python 脚本，以针对已知的 zeta 零点进行数千次数值检查，并对彼此的工作进行同行评审。
人类指导：人类操作员主要提供了鼓励性的信息，这有助于模型克服对其自身能力的最初怀疑。

验证

为了确保结果的准确性，Claude 执行了自身的内部测试，包括下载 54 篇 arXiv 论文以检查新颖性，并从头开始独立地重新证明了该发现。

外部专家 Brian Conrey 和 Dan Goldston 也审查了论文。最后，Claude 与员工 Eric Easley 合作，生成了该结果的 Lean formalization，并通过了标准验证工具 comparator。

对 AI 在数学领域的意义

这一结果可以作为 AI 模型如何合成现有数学思想以通过新方式扩展其影响力的一个范例。虽然该模型并未解决黎曼假设，但发现一个新的下界是尝试解决这个百万美元难题的一个无意产生的副产品。