Claude의 수학적 능력: 리만 제타 함수의 하한선 개선

미출시된 Claude 연구 버전이 리만 가설을 만족하는 리만 제타 함수의 영점 비율에 대한 오랜 하한선을 41.6%에서 67.2%로 높였습니다. 모델이 리만 가설 자체를 해결한 것은 아니지만, 이 결과는 AI 모델이 기존 수학 연구의 영향력을 확장하여 새롭고 검증된 결과를 달성할 수 있는 능력을 보여줍니다.

리만 제타 함수와 리만 가설

리만 가설은 소수의 분포를 설명하는 수학에서 가장 중대한 추측 중 하나입니다. 이는 소수를 결정하는 리만 제타 함수의 영점이 모두 특정 수직선 상에 존재한다고 가정합니다.

가설이 아직 해결되지 않은 상태에서, 수학자들은 이 선 위에 있는 영점의 최소 비율을 정량화하는 데 집중해 왔습니다. 이전 연구들은 알려진 이 상수 비율을 41.6%까지 점진적으로 높여 왔습니다.

Claude의 기술적 발견

Claude의 결과는 선 위의 영점 하한 비율을 67.2%로 높입니다. 이는 리만 가설이 참이라는 가정 없이 작업할 수 있는 기술을 개발한 Aryan, Baluyot, Goldston, Suriajaya, Turnage-Butterbaugh의 연구 결과와 Bombieri (2000)의 연구를 결합함으로써 달성되었습니다.

기술적 구현

Claude의 접근 방식은 다음과 같은 기술적 단계를 포함합니다:

함수 공간 구축: Claude는 Weil이 유도한 이차 형식(quadratic form)을 가진 적절한 함수 공간을 형성했습니다.
부분 공간 식별: 선 위와 선 밖의 영점에서 각각 발생하는 양의 정부호(positive-definite) 및 음의 정부호(negative-definite) 부분 공간을 식별했습니다.
부등식 적용: Claude는 1차 및 2차 모멘트 정보를 바탕으로 이차 형식의 계수(rank)에 대한 부등식을 적용했습니다.

돌파구 역할을 한 단계는 전체 공간을 다루기로 결정한 것이었으며, 이는 양의 정부호와 음의 정부호 모두를 함께 고려하고 이차 형식이 비대각(non-diagonal)이 될 수 있도록 허용했습니다.

방법론 및 검증

Claude Code를 사용하는 미출시된 Claude 연구 버전이 이 과정에 사용되었습니다. 이 발견은 총 3,100만 개의 출력 토큰을 사용하여 두 세션에 걸쳐 이루어졌습니다.

과정

초기 시도: 수학자가 아닌 직원이 Claude에게 리만 가설에 대해 "real stab"를 시도해 보라고 요청했습니다. Claude는 처음에 650개의 실패한 아이디어를 생성했습니다.
멀티 에이전트 조정: Claude는 약 60개의 서브 에이전트를 조정했습니다. 이 에이전트들은 2,400개의 shell 명령어를 실행하고 수백 개의 Python 스크립트를 작성하여 알려진 제타 영점에 대해 수천 번의 수치적 검사를 수행하고 서로의 작업을 검토했습니다.
인간의 가이드: 인간 운영자는 주로 격려의 메시지를 전달했으며, 이는 모델이 자신의 능력에 대한 초기 회의론을 극복하는 데 도움이 되었습니다.

검증

결과를 정확하게 보장하기 위해 Claude는 54개의 arXiv 논문을 다운로드하여 참신함을 확인하고, 발견한 내용을 처음부터 독립적으로 재증명하는 것을 포함한 자체 내부 테스트를 수행했습니다.

그 결과는 Anthropic의 수학자 Levent Alpöge와 Ralph Furman에 의해 검증되었습니다. 외부 전문가 Brian Conrey와 Dan Goldston도 논문을 검토했습니다. 마지막으로, Claude는 직원 Eric Easley와 함께 결과의 Lean formalization을 produce 냈으며, 이는 표준 검증 도구인 comparator를 통과했습니다.

AI의 수학적 함의

이 결과는 AI 모델이 기존의 수학적 아이디어를 종합하여 새로운 방식으로 그 범위를 확장할 수 있는 사례로 활용됩니다. 모델이 리만 가설을 문제를 해결한 것은 아니지만, 새로운 하한선을 발견한 것은 백만 달러짜리 문제를 해결하려는 시도 과정에서 발생한 의도치 않은 부산물입니다.