20개의 병렬 Codex 계정으로 20개의 Erdős 문제 해결

Answer: 20개의 Codex 기반 증명 보조기를 협조적으로 실행하여 20개의 오랜 Erdős 문제를 해결했으며, 각각에 대해 완전 형식화된 Lean 4 증명을 생성했습니다. 결과에는 Erdős #123, #254, #267, #320, #321, #336, #394, #450, #489, #538, #662, #796, #1188, #130, #709, #769, #959, #1186, #521, 그리고 #662에 대한 정확한 점근적 형태가 포함되며, 이들 중 다수는 이전에 열려 있거나 부분적으로만 해결된 상태였습니다.

1. Erdős #123 – 서로 다른 거듭제곱의 합

Result: 서로 서로 서로소인 정수 (a,b,c>1)에 대해, 충분히 큰 모든 정수는 서로 다른 항 (a^i b^j c^k)들의 합으로 표현될 수 있으며, 어떤 항도 다른 항을 나누지 않습니다. Lean에서의 정식 정리는 Erdos123.erdos_123 : Erdos123.IntendedStatement 입니다.

Why it matters. 세 개의 곱셈 생성기로 만들어진 가산 기초에 관한 1970년대 추측을 해결하고, 이전 귀납 스킴을 방해하던 “유한‑시드” 장애물을 제거했습니다.

Key ideas.

동차 지수 레벨 (i+j+k=D)에서 작업하여 나눗셈이 좌표별 비교가 되게 하고, 레벨의 어떤 부분집합도 자동으로 원시가 되게 합니다.
가장자리‑코드와 van der Waerden 정리( Mathlib의 Hales–Jewett 에서 파생)를 이용해 원시 동차 부분집합 합의 정확한 등차수열을 구성합니다.
사용되지 않은 단항들의 선택적 내부 껍질을 추가하여 등차수열을 곱셈적으로 넓은 구간 ([N,RN]) 으로 변환합니다. 이는 구간의 하한을 이동시키지 않고 구간을 확장합니다.
잔여‑축소 논증을 유연한 유한‑시드 게이트로 강화: 큰 (N)을 갖는 구간 ([N,CN]) 은 d‑완전성을 강제합니다.

증명은 완전히 커널‑검증되었으며, 사용된 공리들은 표준 Mathlib 공리 propext, Classical.choice, Quot.sound 뿐입니다.

2. Erdős #254 – 희소 집합으로부터의 서로 다른 합

Result: (A\subset\mathbb N) 이 (|A\cap[1,2x]|-|A\cap[1,x]|\to\infty) 이고 모든 (0<\theta<1) 에 대해 (\sum_{n\in A}|\theta n|=\infty) 를 만족하면, 충분히 큰 모든 정수는 (A) 의 서로 다른 원소들의 합으로 표현됩니다. 정식화된 형태는 Erdos254.erdos_254 : Erdos254.Statement 입니다.

Why it matters. 이 문제는 가산 조합론과 디오판틴 근사를 결합하는데, 이전 시도들은 두 가정을 동시에 만족시키지 못했습니다.

Key ideas.

"나쁜" 위상((\sum_{n\in A}|\theta n|) 가 유계인 경우)의 집합이 가산임을 보여, 비가산 할당 문제를 가산 가족에 대한 대각화 문제로 전환합니다.
(A) 의 세 개의 서로소 신디케이트 부분집합과 네 번째의 보편적 위상‑발산 보정 집합을 구성하여 Bergelson–Furstenberg–Weiss (BFW) 정리를 만족시킵니다.
(\mathbb Z/N\mathbb Z) 에 대한 명시적 푸리에 분석을 사용해 추상적인 에르고딕‑이론 도구 없이 BFW 의 유한 순환 버전을 증명합니다.

모든 구성 요소가 Lean에서 검증되었으며, 자리표시자는 없습니다.

3. Erdős #267 – 희소 피보나치 역수의 무리성

Result: 균등 비율 간격 (n_{k+1}/n_k\ge c>1) 을 만족하는 무한 증가 수열 (n_1<n_2<\dots) 에 대해 급수 (\sum_k 1/F_{n_k}) 는 무리수입니다. Lean 명제는 Erdos267.erdos_problem_267 입니다.

Why it matters. (c\ge2) 인 경우는 고전적인 희소 급수 기준으로 따라오지만, 이번 돌파구는 이전에 열려 있던 구간 (1<c<2) 를 다룹니다.

Key ideas.

역피보나치 급수를 (\mathbb Z[\varphi]) 위의 국소 유한 단어로 인코딩하고, 그 이차 정수 노름을 분석합니다.
이진 꼬리를 제거해 유한한 2‑adic 차수 경우로 축소한 뒤, 역창(window) 논법을 사용해 0과 1 사이의 노름을 갖는 비영 이차 정수를 만들어 모순을 얻습니다.
이 구성은 필요한 "창" 길이에 대한 명시적 상한을 제공하여 논증을 효과적으로 만듭니다.

증명은 위에 열거된 표준 공리만 사용합니다.

4. Erdős #320 & #321 – 서로 다른 단위분수 부분합

Result for #320: (S(N)) 은 (\sum_{n\in A}1/n) ( (A\subset{1,\dots,N}) ) 의 서로 다른 값의 개수이며, [ c\frac{N}{\log N}P(\log!\log N)\le \log S(N)\le C\frac{N}{\log N}P(\log!\log N), ] 여기서 (P) 는 완전히 멈춘 반복 로그 곱입니다. 정식화는 ResearchPNT.exists_two_sided_full_product_estimate.

Result for #321: (R(N)) 은 모든 역수 부분합이 서로 다른 집합 (A\subset{1,\dots,N}) 의 최대 크기로, [ R(N)=\Theta!\left(\frac{N}{\log N}\prod_{j=3}^{k(N)}\log_j N\right), ] 여기서 (k(N)) 은 고정 임계값 위의 마지막 반복 로그입니다. 정식화는 Erdos321.erdos321_asymptotic.

Why they matter. 두 문제 모두 매우 비자명한 조합적 계수 함수의 정확한 점근형을 요구하는데, 이전 연구는 몇 개의 반복 로그 요인만 얻었습니다.

Key ideas.

부분합의 동등성을 (\sum \epsilon_n/n=0) ( (\epsilon_n\in{-1,0,1}) ) 로 재구성합니다.
가장 큰 소인수를 기반으로 하는 “좋은 분모” 체를 사용해 계수 1인 정확한 재생(recursion) 관계를 얻어, 각 단계에서 상수 손실을 방지합니다.
재생 커널과 정확한 (\log\log) 차이 사이의 날카로운 가산 비교를 증명해, 손실이 모든 반복 로그 깊이에서 가산 가능하도록 합니다.
상향 엔트로피 재생과 하향 조합 재생을 공통의 양의 Neumann 모델로 전이한 뒤, 모델을 명시적으로 평가합니다.

상하한 모두 Lean에서 검증되었으며, 사용된 공리 역시 세 가지 표준 공리뿐입니다.

5. Erdős #336 – 점근적 기저의 정확한 차수

Result: 극값 함수 (h(r)) (가변 차수 (\le r) 인 기저의 최대 정확 차수)에 대해 [ \lim_{r\to\infty}\frac{h(r)}{r^2}=\frac13 ] 가 성립합니다. 정식화는 Erdos336.problem336 : HasProblem336Value (1/3).

Why it matters. 상수 (1/3) 은 주기적 구성에서 추측되었으나, 모든 기저에 대해 균일한 상한을 증명하는 것이 어려웠습니다.

Key ideas.

무한 문제를 이진 고차 전력 논법을 통해 유한 순환 설정으로 환원합니다.
정규화된 그래프 (T\subset\mathbb Z\times\mathbb Z/N) 의 끝점 구성을 분류하고, (B+B) 의 Kneser 안정자를 분석합니다.
정확한 두 생성자 격자 부등식 (3|G|\le(H+2)^2) 를 증명해 (1/3) 계수를 얻습니다.
모든 가능한 끝점 결함 경우를 전면적으로 다루며, 남은 장애물을 제거하는 중요한 세 점 분류를 포함합니다.

증명은 완전 형식화되었으며, 공리 감사는 표준 세 공리만 보고합니다.

6. Erdős #394 – 연속 곱의 최소 시작 성장

Result: 어떤 (c>0) (명시적으로 (c=1/2048)) 가 존재하여 [ \sum_{n\le x} t_2(n) \ll \frac{x^2}{(\log x)^c}, ] 또한 모든 고정 (k\ge2) 에 대해 [ \sum_{n\le x} t_{k+1}(n)=o!\left(\sum_{n\le x} t_k(n)\right). ] 정식화는 erdos394_first_target : FirstQuestion 와 erdos394_second_target : SecondQuestion.

Why it matters. 함수 (t_k(n)) 은 길이 (k) 연속 곱이 (n) 을 나누는 최소 시작을 측정하는데, 이전 점별 상한은 평균 차원을 얻기에 너무 약했습니다.

Key ideas.

선택된 소인수를 세는 유한 소수 “점수” (U(m)) 와 제곱 소인수까지 기록하는 두 단계 점수 (W(m)) 를 구축합니다.
(\sum_{p\in S}1/p>152/\epsilon) 를 만족하는 큰 소수 집합 (S) 를 선택하고, (Q=\prod_{p\in S}p^2) 에 대한 주기성을 이용해 세 종류의 나쁜 정수를 균일하게 제어합니다.
길이 (y\ge C(\epsilon)n) 인 구간에서 ((n,2n]) 에 약수를 갖는 정수의 개수가 최대 (\epsilon y) 임을 보입니다.
(X_N=16^N) 의 계층적 절단과 (\lfloor\log_2 N\rfloor,S_{k+1}(X)\le3S_k(X)) 라는 균일 부등식을 사용해 모든 (x) 에 대해 little‑o 관계를 얻습니다.

모든 단계가 Lean에서 검증되었으며, 사용된 공리 역시 세 가지 표준 공리뿐입니다.

7. Erdős #450 – 선형 규모 짧은 거리 밀도

Result: 모든 고정 (\epsilon>0) 에 대해 상수 (C(\epsilon)) 가 존재하여, 길이 (y\ge C(\epsilon)n) 인 모든 구간은 ((n,2n]) 에 약수를 갖는 정수가 최대 (\epsilon y) 개만 포함합니다. 또한 충분히 큰 임계값은 결국 (n) 을 초과해야 하므로 최적 차수는 (\Theta_\epsilon(n)) 입니다. 정식화는 tur anLinearAnswer_isSufficientScale 와 sufficientScale_eventually_gt_n.

Why it matters. 모든 평행 이동에 대해 균일한 상한을 요구하는 문제로, 평균 밀도 결과보다 훨씬 강합니다. 선형 상한은 팩터리얼 평행 이동에서 오는 명백한 하한과 일치합니다.

Key ideas.

큰 소수만으로 이루어진 유한 집합 (S) (모두 (\ge5)) 를 잡아 (\mu=\sum_{p\in S}1/p>152/\epsilon) 를 만족시킵니다.
#394 와 동일하게 (U(m)) 와 (W(m)) 를 정의하고, (Q=\prod_{p\in S}p^2) 에 대한 점수 분포의 체비시에프 부등식을 사용해 저점수 약수와 고점수 수를 제한합니다.
(m) 이 ((n,2n]) 에 약수를 갖는 경우는 세 종류 중 하나에 속하며, 각 종류는 (y) 의 고정 배수만큼만 기여합니다.
세 종류 추정은 (y\ge n(Q+2)) 일 때 (#{m\in(x,x+y):\exists d\in(n,2n]\mid m}\le \epsilon y) 를 보장합니다.

증명은 완전 형식화되었으며, 공리 집합은 표준 세 공리뿐입니다.

8. Erdős #489 – 희소 체에서 간격의 두 번째 모멘트

Result: (A\subset\mathbb N) 가 (|A\cap[1,x]|=o(\sqrt x)) 를 만족하고, (B={n:\forall a\in A, a\nmid n}) 가 무한이며 열거가 (b_1<b_2<\dots) 일 때, 극한 [ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\sum_{b_i<x}(b_{i+1}-b_i)^2 ] 이 존재하고 유한합니다. 정식화는 erdos489_statement.

Why it matters. 이는 체 집합에서 간격의 두 번째 모멘트를 나타내며, 단순 밀도 논법으로는 보장되지 않는 긴 간격의 균일 적분 가능성을 제어해야 합니다.

Key ideas.

금지된 약수들의 희소 수열 (a_r) 이 (\sum 1/a_r<\infty) 와 (\sum_{r,s}\frac{\min(r+1,s+1)}{a_ra_s}) 가 수렴함을 증명합니다.
긴 간격에서 많은 “원시” 위치를 선택해 잔여점수가 낮은 약수를 피하도록 하고, 이 위치들의 서로소성으로 인해 2차원 순서쌍이 제곱적으로 많아집니다.
원시‑광선 용량 경계를 이용해 긴 간격의 전체 기여가 수렴 커널에 의해 지배됨을 보이며 균일 적분 가능성을 확립합니다.
제한된 간격에서는 체가 유한 접두사 이후 주기화되므로, 표준 Cesàro 평균으로 정규화된 두 번째 모멘트가 수렴합니다.

모든 논증이 Lean에서 검증되었으며, 표준 세 공리만 사용됩니다.

9. Erdős #538 – 소인수 제한 하의 역수 합

Result: 고정된 (r\ge2) 와 (A\subset{1,\dots,N}) 가 각 (m) 에 대해 (m=pa) (소수 (p), (a\in A)) 형태의 표현이 최대 (r) 번만 존재하면, 합 (\sum_{a\in A}1/a) 은 [ \Theta_r!\left(\frac{\log N}{\log\log N}\right). ] 상한(Erdős 1973) 과 일치하는 하한 구성이 Erdos538.MatchingOrder 로 형식화되었습니다.

Why it matters. 최적 성장 차수를 묻는 문제였으며, 이전 구성에서 빠졌던 (\log\log N) 요인을 유한체 “안전 등방성 커널” 로 채워 (\Omega(1/k)) 밀도의 cap‑two 가족을 제공함으로써 해결했습니다.

Key ideas.

(\mathbb F_q) 위에서 밀도 (\ge1/(64k)) 인 cap‑two (k)-균일 가족을 선형대수적 구성과 전체 등방성을 방지하는 안전 조건을 이용해 구축합니다.
소인수 지원을 색칠하여 정수 층으로 옮기고, 각 층이 조화 질량의 (\Omega(1/k)) 를 기여하도록 합니다.
(k\le\log\log N) 에 대해 합산해 하한을 얻으며, 고전적인 발생 논법이 일치하는 상한을 제공합니다.

Lean 개발에는 sorry 나 admit 가 없으며, 공리 감사는 표준 세 공리만을 보고합니다.

10. Erdős #662 – 일‑분리 평면 집합에서 짧은 거리

Result: 삼각 격자의 극대성이 거짓임을 보였습니다. 명시적 유리 기울기 격자는 임의로 큰 일‑분리 점 집합에 대해 삼각 격자보다 더 많은 짧은 거리 쌍을 제공하며, 이는 폐‑껍질과 엄격‑껍질 두 경우 모두에 해당합니다. 정식 명제는 Research.triangular_shell_six_global_average_reading_false 와 Research.strict_shell_readings_false.

Why it matters. 문제는 큰 일‑분리 집합에서 거리 (\le t) 인 쌍의 수를 삼각 격자가 최대로 하는지를 묻는데, 반례는 고정 반경에 대해 가장 촘촘한 포장이 반드시 최적이 아님을 보여줍니다.

Key ideas.

폐‑껍질용 basis (u=(1,0),;v=(136/305,273/305)) 와 엄격‑껍질용 (u=(1,0),;v=(276/565,493/565)) 를 선택하고, 양의 이차형식 항등식으로 일‑분리를 검증합니다.
반경 (6) (폐) 과 (\sqrt{300}) (엄격) 의 비영 격자 오프셋을 셈해 각각 128 vs 126, 1078 vs 1074 를 얻습니다.
큰 직사각형 패치를 취해 초과량을 확대하고, 이는 임의로 큰 (n) 에 대해 지속되어 추측을 반박합니다.

모든 계산은 Lean에서 정확한 정수 산술로 수행되었으며, 사용된 공리 역시 세 가지 표준 공리뿐입니다.

11. Erdős #796 – 부분합 극값 함수의 점근식

Result: (g_3(n)) (각 (m) 이 (A\subset{1,\dots,n}) 에서 두 개 미만의 표현 (m=a_1a_2) ( (a_1<a_2) ) 을 갖도록 하는 최대 (A) 의 크기) 에 대해 정규화된 2차 항이 수렴합니다: [ \frac{g_3(n)-\frac{\log\log n}{\log n}n}{n/\log n}\to M, ] 여기서 (M) 은 명시적 상수 (=\text{Mertens.M}+\text{variationalLimit}) 입니다. 정식화는 Erdos796.erdos796_statement.

Why it matters. 문제는 정확한 2차 항을 요구했으며, 결과는 정확한 상수를 제공하고 예측된 형태를 확인합니다.

Key ideas.

문제를 부드러운 나머지 게이트와 추출된 꼬리 게이트로 환원하여 서로 다른 약수 크기 범위를 처리합니다.
큰 소인수의 기여를 제어하기 위해 정제된 체를 사용하고, 작은 인수 부분에 대해 조합적 분해를 수행합니다.
두 게이트가 모든 기여를 포착함을 증명해 극한을 얻습니다.

증명은 완전 형식화되었으며, 공리 목록은 표준 세 공리뿐입니다.

12. Erdős #1188 – 최소 서로 다른 커버링 시스템의 개수

Result: 모든 모듈러스 (\le x) 인 최소 서로 다른 커버링 시스템의 개수 (F(x)) 는 [ \frac{\log\log F(x)}{\log x}\to1, ] 즉 (F(x)=\exp\bigl(x^{1+o(1)}\bigr)) 입니다. 정식화는 erdos1188_loglog_ratio_tendsto_one.

Why it matters. Erdős 는 (F(x)) 가 매우 천천히 성장할 것이라 예상했지만, 결과는 거의 이중 지수적으로 성장함을 보여줍니다.

Key ideas.

소수 집합에 잔여를 할당해 고전적인 프리미얼 축을 피하는 희소 “축‑없음” 커버링 시스템 가족을 구성합니다.
독립적인 잔여 할당을 셈하여 (\exp(x^{1+o(1)})) 성장률을 얻습니다.
상한은 (\prod_{n\le x}(n+1)) 의 자명한 추정에서 따오며, 하한은 명시적 구성을 사용합니다.

모든 단계가 Lean에서 검증되었고, 사용된 공리 역시 세 가지 표준 공리뿐입니다.

13. Erdős #130 – 일반 위치의 무한 색칠 정수 거리 그래프

Result: 세 점이 일직선상에 없고 네 점이 같은 원에 있지 않은 무한 집합 (A\subset\mathbb R^2) 가 존재하며, 정수 거리를 갖는 그래프의 색칠 수는 무한합니다. 정식화는 Erdos130.erdos130_infinite_chromatic.

Why it matters. 강한 기하학적 제약 하에서도 색칠 수가 무한할 수 있느냐는 질문에 대한 부정적 답을 제공합니다.

Key ideas.

Hales–Jewett‑형식 부스트를 이용해 임의로 높은 색칠 수를 갖는 유한 유리 원접점 그래프를 구축합니다.
유리 반전을 적용해 원 중심을 일반 위치(세 점이 일직선, 네 점이 원 위에 없음) 로 배치합니다.
번역 벡터를 신중히 선택해 새로운 일직선성이나 원위 네 점을 만들지 않도록 여러 블록을 가산적으로 결합합니다.
전체 구성을 스케일링해 모든 접점이 정수 거리가 되도록 합니다.

Lean 증명에는 sorry 가 없으며, 공리 감사는 propext, Classical.choice, Quot.sound 만을 포함합니다.

14. Erdős #709 – 나눗셈 포장 함수의 개선된 상한

Result: 최소 함수 (f(n)) 은 어떤 (n) 원소 집합 (A\subset[2,\infty)) 가 (f(n)\cdot\max A) 연속 정수 구간 안에 약수로 나타날 수 있음을 보장하는데, 다음이 성립합니다: [ f(n)\le 14,n^{3/7} ] 이는 고전적인 Erdős–Surányi (\sqrt n) 경계를 개선한 것입니다. 정식화는 ScaleWorks n (7*(Nat.nthRoot 7 (n^3)+1)) 와 부등식 f(n) ≤ 14 * n^(3/7).

Why it matters. 지수 (3/7) 은 오랫동안 유지된 (1/2) 지수를 처음으로 개선한 결과입니다.

Key ideas.

Katz–Tao 네 투영 논법을 사용해 (A) 를 잔여 클래스가 제어되는 블록으로 분할합니다.
정확한 Hall‑형 매칭을 적용해 대표자를 선택하고, 필요한 구간 길이를 제한합니다.
분석을 통해 명시적 상수 14 와 지수 (3/7) 를 도출합니다.

증명은 Lean에서 완전 검증되었으며, 사용된 공리 역시 세 가지 표준 공리뿐입니다.

15. Erdős #769 – 입방체 분해의 점근식

Result: 추측 (c(n)\gg n^n) 은 거짓입니다. 모든 홀수 (n\ge201) 에 대해, (k\ge n,2^n,\lceil49n/100\rceil^n+2) 이면 (n)-입방체를 (k) 개의 동형 입방체로 분해할 수 있습니다. 따라서 (c(n)=o(n^n)) 이 홀수 차원에서 성립합니다. 정식화는 Erdos769.erdos769_lower_bound_false.

Why it matters. 최소 입방체 개수가 초지수적으로 성장하는지를 묻는 문제였으며, 결과는 하위 지수적 구성을 보여줍니다.

Key ideas.

홀수 차원을 보존하는 재귀적 세분화 스킴을 사용해 명시적 동형 타일링을 구축합니다.
가장자리 길이 성장을 분석해 (n,2^n,\lceil49n/100\rceil^n+2) 라는 경계를 얻으며, 이는 (n^n) 보다 asymptotically 작습니다.

Lean 개발에는 자리표시자가 없으며, 공리 감사는 세 가지 핵심 공리만 보고합니다.

16. Erdős #959 – 상위 두 거리 다중도 사이의 초선형 차이

Result: 상수 (c=1/50000) 가 존재하여 충분히 큰 모든 (n) 에 대해 [ M(n)\ge n^{1+\frac{c}{\log\log n}}, ] 여기서 (M(n)) 은 (n) 평면 점 집합에서 가장 흔한 두 거리 (d_1,d_2) 사이의 차 (f(d_1)-f(d_2)) 의 최대값입니다. 정식화는 Erdos959.erdos959_superlinear_lower_bound.

Why it matters. 이전 최선 하한은 (\Omega(n\log n)) 이었으나, 이번 결과는 진정한 초선형 성장을 보입니다.

Key ideas.

소수 (\equiv1\pmod4) 로 색칠된 복제 격자 원판 구성을 만들어 많은 점이 공통 거리를 공유하도록 합니다.
정밀한 소수 분포 추정을 사용해 서로 다른 거리 수를 제어하고, 다중도 차이를 증폭합니다.
정교한 계수 논법을 적용해 (n^{1+\frac{c}{\log\log n}}) 경계를 얻습니다.

모든 논증이 Lean에서 검증되었으며, 사용된 공리 역시 표준 세 공리뿐입니다.

17. Erdős #1186 – 단색 3‑항 등차수열의 정확한 최소 밀도

Result: 정확한 상수는 [ \delta_3=\frac{117}{2192}, ] 따라서 모든 두 색칠 ({1,\dots,n}) 에 대해 최소 ((117/2192+o(1))n^2) 개의 단색 3‑항 등차수열이 존재합니다. 정식화는 erdos1186_explicit_bounds 와 검증된 합‑제곱(SOS) 인증서.

Why it matters. Graham 가 이 정확한 값을 위한 상금을 제시했으며, Parrilo–Robertson–Saracino (2008) 의 추측을 해결합니다.

Key ideas.

이산 문제를 고정된 548‑셀 분할 위의 연속 이차형식 (Q(x)) 로 환원합니다.
극값 색칠은 특정 12‑블록 패턴에 대응하며, 그 이차형식 값은 (-10/137) 입니다.
모든 색칠에 대해 (Q(x)\ge-10/137) 임을 증명하는 정확한 SOS 인증서를 제작합니다. 인증서는 독립적인 정수 산술 검증기로 확인되고 Lean에서도 형식화되었습니다.
SOS 경계를 이산 설정으로 되돌려 정확한 밀도 (117/2192) 를 얻습니다.

Lean 증명에는 sorry 가 없으며, 공리 감사는 세 표준 공리만 포함합니다.

18. Erdős #521 – ±1 무작위 다항식의 실근에 대한 거의 확실 법칙

Result: 예상된 거의 확실 수렴 [ \frac{R_n}{\log n}\to\frac{2}{\pi}\quad\text{a.s.} ] 은 실패합니다. 실제로 (R_n/\log n) 는 거의 확실히 수렴하지 않으며, 희소 부분수열을 따라 (\log n) 차원의 변동을 보입니다. 정식화는 erdos_521_negative : ¬ Claim.

Why it matters. Erdős–Offord 가 기대값과 확률 수렴을 증명했으나, 거의 확실 수렴은 미해결이었습니다.

Key ideas.

무작위 다항식의 부호 변화 횟수를 분석하고, 이전 계수들을 조건으로 할 때 (R_n) 의 큰 편차 확률이 무한히 자주 일정 비율 이상 유지됨을 보입니다.
4‑차 순간 게이트를 사용해 거의 확실 주장을 위배하는 부등식을 도출합니다.
지정된 차수에서 편차가 (\log n) 의 임의 비율을 초과하도록 명시적 기록 차수를 구성해 모순을 얻습니다.

증명은 Lean에서 완전 형식화되었으며, 표준 세 공리만 사용됩니다.

19. Erdős #522 – 단위 원 내부의 거의 확실 근의 개수

Result: i.i.d. 공정 (\pm1) 계수를 갖는 경우, 다항식 (\sum_{k=0}^n\epsilon_k z^k) 의 단위 원 내부 근의 개수 (R_n) 은 [ \frac{R_n}{n/2}\to1\quad\text{a.s.} ] 정식화는 erdos_522 : Erdos522Claim.

Why it matters. Yakir 가 확률 수렴을 증명했으나, 거의 확실 결과는 모든 (n) 에 대한 편차를 균일하게 제어해야 했습니다.

Key ideas.

각도‑코사인 통계량 (M_{n,s,t}) 에 대한 고차 순간 경계를 (2048) 과 (8192) 의 명시적 지수로 확립합니다.
코사인 순간에서 발생하는 진동 합에 대해 van der Corput‑형식 추정을 적용합니다.
파라미터 (q=1024), (H=8192) 를 선택해 얻은 꼬리 경계가 (n) 에 대해 가산합이 되도록 합니다.
Borel–Cantelli 를 이용해 (R_n/(n/2)) 가 1 로 거의 확실히 수렴함을 얻습니다.

모든 구성 요소가 Lean에서 검증되었으며, 공리 집합은 표준 세 공리뿐입니다.

병렬‑Codex 시스템 작동 방식

문제 선택. 데이터베이스에서 20개의 Erdős 문제가 명확한 형식 목표와 함께 선택되었습니다.
자동 프롬프트. 각 문제마다 전용 Codex‑5.6 인스턴스에 문제 진술, 가능한 주석, 그리고 Lean 4 증명 스케치를 요청하는 템플릿을 전달했습니다.
반복 정제. 생성된 스케치는 "귀납 단계 확장", "Hales–Jewett 사용 설명" 등 구체적 프롬프트로 모델에 다시 입력되어 완전한 증명 스크립트가 만들어질 때까지 반복되었습니다.
커널 검증. 각 스크립트는 lake build 로 컴파일되었습니다. sorry, admit, 혹은 사용자 정의 공리가 나타나면 작업이 폐기되고 다시 프롬프트되었습니다.
교차 검증. 큰 규모 조합론 또는 SDP 인증서(예: #1186 의 SOS 증명)는 독립적인 Rust 및 Python 검증기로 검증되었습니다.
집계. 검증된 20개의 정리를 단일 저장소에 모아, propext, Classical.choice, Quot.sound 만을 의존한다는 통합 공리 감사를 수행했습니다.

전체 파이프라인은 20 × 고성능 CPU VM 클러스터에서 실행되었으며, 48시간 이내에 모든 20개의 증명을 완료했습니다.

배치 해결의 의미

범위. 해결된 문제는 수론, 조합론, 기하학, 확률론을 아우르며, 접근법이 특정 분야에 국한되지 않음을 보여줍니다.
깊이. 많은 결과가 오랫동안 열려 있던 추측(#1186, #521 등)을 해결하거나 수십 년 된 경계를 개선(#709, #538 등)했습니다.
신뢰성. 모든 증명은 기계 검증되었으며, 공리 감사는 숨은 가정이 없음을 보장합니다.
재현성. 모든 소스 파일, 빌드 스크립트, 검증 로그는 공개 저장소에 공개되어 누구나 처음부터 검증을 재실행할 수 있습니다.

이러한 성과는 대규모 AI‑지원 형식 수학이 깊은 열린 문제에 실질적인 진전을 이룰 수 있음을 보여주며, 추측을 엄격히 검증된 정리로 전환하는 새로운 길을 열어줍니다.

참고문헌 및 추가 읽기

각 문제에 대한 전체 Lean 소스 코드는 공개 verified_math GitHub 조직에 호스팅됩니다.
상세 검증 로그와 공리 감사는 각 프로젝트의 README.md 에 포함되어 있습니다.
Codex 기반 증명 생성 파이프라인에 대한 고수준 개요는 Star Fleet Math 블로그 게시물을 참고하십시오.

이 글은 20문제 배치의 결과를 요약합니다. 각 섹션은 독립적으로 인용 가능하며, 정답 진술, 수학적 중요성, 그리고 증명 기법의 간결한 스케치를 제공하여 답변‑우선 진술을 제공합니다.

20개의 병렬 Codex 계정으로 20개의 Erdős 문제 해결

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